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函数(function)，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的由来
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》(1859年)一书时，把“function”译成“函数”的。
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。
函数定义
传统定义
一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个 x 都有唯一确定的一个 y 和它对应，那么就称 x 是自变量，y 是 x 的函数。x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应 y 的取值范围叫做函数的值域。
近代定义
设A，B是非空 的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合B中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称映射 f ：A → B为从集合A到集合B的一个函数，记作：
或
其中x叫作自变量，y 叫做 x 的函数，集合A
叫做函数的定义域，与 x 对应的 y 叫做函数值，函数值的集合
叫做函数的值域，f 叫做对应法则。其中，定义域、值域和对应法则被称为函数三要素。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为：
若省略定义域，一般是指使函数有意义的集合。
